phần diện tích sân mà bên tấn công có thể khống chế cho mỗi một kết hợp chiến lược trong số sáu khả năng có thể xảy ra. Chẳng hạn, lấy tình huống bên phòng ngự quyết định phản công chớp nhoáng trong khi bên tấn công đang chuyền bóng. Giả sử rằng có 10% cơ hội để tiền vệ đánh mất 10m sân, 70% cơ hội cho
81 cú chuyền bóng lên thêm 10m và 20% còn lại là cơ hội chuyền bóng dài lên 20m. Tính theo trung bình sẽ là: 0.1 X (-10) + 0.7 X 10 + 0.2 X 20 = -1 + 7 + 4 = 10 Các con số trên rõ ràng sẽ phụ thuộc vào các kỹ năng đặc biệt (hoặc sự thiếu hụt về các kỹ năng đó) của hai đội; chúng tôi chọn các số này chỉ để minh họa mà thôi. Chúng ta xem kết quả của tính toán trên cho sáu kết hợp chiến lược trong bảng sau: Bên tấn công cố bằng mọi cách đạt được con số có thể lớn nhất trong bảng trên. Trong khi đó bên phòng ngự cố gắng giữ sao cho con số đó là nhỏ nhất, do vậy chúng ta không cần một bảng riêng để xác định hành động của họ. Không bên nào ở đây có chiến lược lấn át: không có dòng nào có các con số luôn cao hơn dòng kia và cũng không có cột nào mà các con số luôn luôn nhỏ hơn các cột khác. Tuy nhiên, bên phòng ngự có một chiến lược bị lấn át. Đó chính là phản công chớp nhoáng. Kết quả của phản công chớp nhoáng luôn là mất sân và luôn mất nhiều hơn, do vậy luôn xấu hơn cho bên phòng ngự so với khi áp dụng một chiến lược khác. Vì thế bên phòng ngự tuyệt đối không nên phản công chớp nhoáng, còn bên tấn công có thể chắc chắn rằng đối phương sẽ không làm điều đó. Lập luận chưa dừng ở đây. Chiến lược phản công chớp nhoáng như vậy sẽ bị bỏ đi trong kế hoạch của huấn luyện viên trưởng đội phòng ngự và trò chơi sẽ là mỗi bên có hai chiến lược. Trong trò chơi đã được lược giản này, bên tấn công có chiến lược lấn át, đó là chuyền bóng. Các con số tương ứng của nó, 9 và 8, luôn
82 cao hơn khi dắt bóng 3 và 7. Lý do chuyền bóng không phải là chiến lược lấn át trong tình huống ban đầu bởi dắt bóng khi đó mang lại kết quả tốt hơn khi đối phương áp dụng chiến lược phản công chớp nhoáng (do người giữ bóng có khả năng rơi vào khoảng sân trống khi các hậu vệ của đội phòng ngự đã ra ngoài vị trí của mình), Tuy nhiên, giờ đây chiến lược này đã không còn được xem xét đến. Do vậy, bên tấn công sẽ chọn chuyền bóng. Bên phòng ngự đến lượt mình phải suy nghĩ để tìm ra câu trả lời tốt nhất cho chiến lược được lựa chọn đó và đó chính là chống chuyền bóng. Ý tưởng tổng quát ở đây có thể được viết lại thành một quy tắc hành vi nữa cho các trò chơi với các bước đi đồng thời như sau: Quy tắc 3: BỎ CÁC CHIẾN LƯỢC BỊ LẤN ÁT RA KHỎI TÍNH TOÁN VÀ TIẾP TỤC NHƯ VẬY MỘT CÁCH LẦN LƯỢT Nếu như trong quá trình chơi, bất kỳ chiến lược lấn át nào xuất hiện trong trò chơi nhỏ hơn, chúng cần được chọn một cách lần lượt. Nếu cả quy trình này kết thúc trong một kết cục duy nhất, bạn đã tìm thấy các giải pháp hành động cho những người chơi và kết cục của trò chơi. Thậm chí ngay cả khi trò chơi không có một kết cục duy nhất thì nó cũng sẽ giúp giảm bớt quy mô và tính phức tạp của trò chơi. Chúng tôi minh họa ý tưởng về lần lượt loại bỏ các chiến lược bị lấn át bằng cách bịa ra một câu chuyện về sự đe dọa can thiệp của hải quân ở vùng Vịnh Pécxích. Hình kẻ ô dưới đây cho thấy các vị trí và các lựa chọn của các bên tham chiến. Tàu của Iraq tại điểm I dự định bắn tên lửa vào mục tiêu là tàu của Mỹ tại điểm A. Đường đi của tên lửa được lập trình trước khi phóng đi. Nó có thể đi theo đường thẳng hoặc rẽ vuông góc sang phải sau mỗi khoảng thời gian 20 giây. Nếu tên lửa của Iraq bay thẳng từI đến A, tên lửa Mỹ có thể đánh trả đường đạn như vậy một cách dễ dàng. Do vậy, phía Iraq sẽ tìm cách đi theo một đường zíc zắc. Tất cả các con đường từI đến A đều có thể được thể hiện theo các cạnh của hình dưới đây. Độ dài của mỗi đoạn đều bằng nhau và đúng bằng đoạn đường tên lửa có thể bay trong 20 giây.
83 Ra-đa đặt trên tàu của Mỹ có thể phát hiện việc Iraq phóng tên lửa về phía mình và máy tính sẽ ngay lập tức phóng tên lửa đối lại. Tên lửa đối kháng của Mỹ bay với tốc độ đúng bằng tổc độ của tên lửa Iraq và cũng có thể thực hiện những cú rẽ 90 độ tương tự. Do vậy, đường đi của tên lửa đối kháng cũng có thể biểu diễn dọc các cạnh của hình kẻ ô trên với điểm khởi đầu là A. Tuy nhiên, để còn đủ nhiên liệu cho một vụ nổ gây thiệt hại ngoài trời thì tên lửa đối kháng chỉ có thể bay trong 1 phút, có nghĩa là nó chỉ có thể đi được ba cạnh (chẳng hạn, AB, BC và CF, chúng ta sẽ viết rằng đường đi khi đó là ABCF). Nếu trước hoặc ngay tại thời điểm 1 phút kết thúc, tên lửa đôi kháng gặp tên lửa đến, nó sẽ nổ và vô hiệu hóa mối đe dọa. Nếu không, tên lửa của Iraq sẽ tiếp tục con đường của mình và đâm vào tàu của Mỹ. Câu hỏi đặt ra là hai tên lửa phải chọn đường đi cho mình như thế nào? Chỉ có phút đầu tiên của quãng đường là có liên quan đến trò chơi này. Mỗi bên cần phải suy nghĩ trước về ba đoạn đường 20 giây. Nếu đếm hết các khả năng thì mỗi bền có tám đường đi để lựa chọn. Như vậy chúng ta phải xem xét tổng cộng 64 kết hợp và tính toán xem trường hợp nào trúng còn trường hợp nào trượt. Chẳng hạn, nêu chiến lược của Iraq là đi theo đường IFCB, điều đó có nghĩa là tên lửa đi thẳng một mạch từI qua F rồi đến C, sau đó rẻ phải sang B. So sánh nó với chiến lược ABCF của phía Mỹ. Hai tên lửa sẽ gặp nhau tạiC sau hai đoạn (40 giây); do vậy kết hợp này được coi là trúng đích. Nếu chiến lược đó của Iraq gặp chiến lược ABEF của Mỹ thì kết quả sẽ là trượt. Đường đi của hai bên đều có chung điểm B và F, Tuy nhiên, hai tên lửa đạt đến các điểm đó vào các thời điểm
84 khác nhau; chẳng hạn tên lửa của Mỹ tới B sau 20 giây nhưng mãi sau 60 giây tên lửa của Iraq mới bay tới đó. Bảng sau chỉ ra tất cả các kết hợp có thể. Tám chiến lược của Iraq được đánh số tương ứng từ I1 đến I8 và dường đi cũng được chỉ ra tương ứng, chẳng hạn I1 là IFCB. Tương tự các chiến lược của Mỹ được đánh số từ A1 đến A8. Các cú bắn trúng được biểu thị bằng chữH, trượt biểu thị bằng chữ O. Bảng trên trông có vẻ phức tạp, nhưng quy tắc lược giản các chiến lược bị lấn át sẽ nhanh chóng khiến nó trở nên đơn giản hơn. Tên lửa đối kháng của Mỹ đang cố bắn trúng nên H sẽ tốt hơn là O. Tiếp đó có thể dễ dàng nhận thây đối với Mỹ thì chiến lược A2 bị lấn át bởi A4; nếu nhấc dòng A4 lên và đặt chồng lên hàng A2 bạn sẽ thấy A4 có tất cả các H ở những nơi mà A2 có, và còn có thêm ở một nơi nữa - đó là chỗ để đáp trả chiến lược I5 của Iraq. Làm tất cả các tính toán như vậy cho tất cả các khả năng, ta có kết quả là các chiến lược A2, A3, A6 và A7 bị lấn át bởi cả hai chiến lược A4 và A8. AI bị lấn át bởi A8, còn A5 bị lấn át bởi A4. Do vậy phía Iraq có thể chắc chắn rằng phía Mỹ sẽ không dùng chiến lược nào khác ngoài A4 hoặc A8. Tập trung sự chú ý vào hai dòng đó, phía Iraq sẽ cố gắng để tên lửa đối kháng bắn trượt, do vậy đối với họ các chiến lược I1 và I5 sẽ lấn át các chiến lược 12,13,14,16 và 17. Sau khi chúng ta gạch đi các dòng và cột tương ứng với các chiến lược bị lấn át, trò chơi sẽ được lược giản còn như sau:
85 Hai quy tắc của chúng ta không thể lược giản trò chơi hơn nữa bởi vì không còn chiến lược lấn át hay bị lấn át nào nữa. Tuy nhiên, chúng ta cũng đã làm được khá nhiều rồi. Hãy nhìn vào các chiến lược còn lại trên bản đồ, chúng ta sẽ thấy tên lửa của Iraq phải đi theo đường viền bên ngoài hình kẻ ô trong khi tên lửa đối kháng của Mỹ phải đi dọc ngang bên trong các ô. Chúng ta sẽ xem ngay sau đây làm thế nào để chọn tiếp từ hai khả năng còn lại cho mỗi bên. CHIẾN LƯỢC CÂN BẰNG Khi tất cả các giản ước dựa trên chiến lược lấn át và bị lấn át đã được sử dụng hết, trò chơi đã ở mức tối giản, việc suy luận vòng quanh cần phải được giải quyết trực diện. Cái gì là tốt nhất với bạn cũng sẽ tốt nhất với đối phương của
86 bạn và ngược lại. Ở đây chúng tôi sẽ giới thiệu kỹ thuật biến cái không thể thành có thể để dẫn bạn ra khỏi vòng suy luận luẩn quẩn. Để làm điều này, hãy quay lại với cuộc chiến giá cả giữa Time và Newsweek, Tuy nhiên, thay vì chỉ có hai mức giá để chọn, ở đây sẽ có cả một loạt các mức giá khác nhau. Bây giờ ban điều hành Time sẽ phải suy nghĩ để tìm ra câu trả lời tốt nhất cho mỗi mức giá có thể của Newsweek, Giả sử mỗi tạp chí đều có những độc giả trung thành của mình, Tuy nhiên, bên cạnh đó còn có một lượng độc giả có thể bị lôi kéo bởi cạnh tranh giá. Nếu vì một lý do nào đó, Newsweek quyết định lấy giá 1 đô la, đúng bằng chi phí sản xuất, khi đó ban điều hành Time sẽ không thể đi theo chiến lược phi lợi nhuận này mà sẽ đặt giá cao hơn, giả sử 2 đô la và thu lợi nhuận từ nhóm độc giả trung thành của mình. Nếu Newsweek lấy giá cao hơn, Time cũng sẽ tăng giá nhưng tăng ít hơn, do đó giành lợi thế về giá. Giả sử cứ mỗi đô la tăng giá của Newsweek thì câu trả lời tối ưu của Time là tăng theo thêm nửa đô la. Mối tương quan giữa những câu trả lời tối ưu của Time đối với tất cả các mức giá có thể của Newsweek được biểu diễn trong bảng sau: Giả sử rằng cả hai tạp chí đều cố mức chỉ phí như nhau, số độc giả trung thành bằng nhau và mức độ lôi kéo đối với lượng độc giả còn lại tương tự như
87 nhau. Do đó, đồ thị cho tương quan giữa câu trả lời tốì ưu của Newsweek cho các mức giá của Time cũng giống hệt như trên. Bây giờ chúng ta có thể hình dung hai giám đốc bất đầu suy nghĩ một cách riêng rẽ. Thí dụ giám đốc Time sẽ nói: “Nếu anh ta lấy giá 1 đô la, ta sẽ lấy 2 đô la. Nhưng anh ta cũng biết ta dang nghĩ như thế nên sẽ không lấy 1 đô la mà lấy mức giá là câu trả lời tối ưu cho mức giá 2 đô la của ta, đó sẽ là 2,5 đô la. Khi đó, ta sẽ không lấy giá 2 đô la nữa mà sẽ là câu trả lời tối ưu của ta đối với mức giá 2,5 đô la của anh ta, nghĩa là 2,75 đô la. Nhưng đến khi đó thì anh ta sẽ...” Đến bao giờ suy luận này sẽ kết thúc ? Nó sẽ kết thúc ở mức giá 3 đô la. Nếu giám đốc của Time nghĩ rằng giá của Newsweek sẽ là 3 đô la thì câu trả lời tối ưu của ông ta cho mức giá đó cũng là 3 đô la. Và ngược lại. Suy luận vòng quanh đã có điểm hội tụ. Chúng ta cớ thể chỉ ra diều này trên một đồ thi khác, trên đó hai câu trả lời được đặt cạnh nhau. Hai đường thẳng biểu diễn chúng gặp nhau tại một điểm mà tại đó mức giá đúng bằng 3 đô la. Chúng ta đã tìm thấy một kết hợp chiến lược trong đó mỗi hành động của người chơi này là câu trả lời tối ưu cho hành động của người chơi kia. Với hành động của người kia là cho trước, không người chơi nào muốn thay đổi chính hành động của mình. Các nhà lý thuyết trò chơi gọi kết cục này là trạng thái cân bằng (hay điểm cân bằng - equilibrium). Khái niệm này được nhà toán học John
88 Nash ở trường tổng hợp Princeton phát triển và tên ông được lấy để đặt cho sự cân bằng này - cân bằng Nash. Ý tưởng của Nash chính là nền tảng cho quy tắc hành vi cuối cùng chúng tôi đưa ra cho các trò chơi có các bước đi đồng thời: Quy tắc 4: SAU KHI ĐÃ GIẢN LƯỢC CON ĐƯỜNG BẰNG CÁCH TÌM KIẾM CẤC CHIẾN LƯỢC LẤN ÁT HOẶC ĐƯA RA CÁC CHlỂN LƯỢC BỊ LẤN ÁT, BƯỚC TIẾP THEO CẦN LÀM LÀ TÌM ĐIỂM CÂN BẰNG CỦA TRÒ CHƠI Sherlock Holmes và Giáo sư Moriarty chắc chắn phải dùng đến mánh khóe để có thể nhìn xuyên qua chiến lược của nhau. Quy tắc này cần giải thích thêm một chút. Vì sao những người chơi được lôi kéo về cùng một kết cục như vậy? Có một số lý do có thể đưa ra. Không có lý do nào trong đó là tuyệt đối thuyết phục nhưng toàn bộ các lý do đó hợp lại thì có sức thuyết phục rất mạnh. Trước hết, đó là sự cần thiết phải thoát khỏi suy luận lòng vòng không đưa bạn đến đâu cả. Điểm cân bằng đứng ổn định dưới những vòng suy luận kiểu như “tôi nghĩ là anh ta đang nghĩ rằng…”. Nó khiến dự tính của người chơi về hành động của người kia trở nên nhất quán. Mỗi người đều đã dự đoán đúng hành động của người kia và đã chọn cho mình câu trả lời tối ưu. Ưu điểm thứ hai của chiến lược cân bằng phát sinh từ các trò chơi có tổng lợi ích bằng 0, trong đó lợi ích của các bên là hoàn toàn đối lập. Trong trò chơi như thế, các đối thủ của bạn không thể giành điểm bằng cách lừa bạn chơi chiến lược cân bằng. Bạn đã tính toán đến câu trả lời tối ưu của họ đối với điều bạn đang làm rồi. Lý do thứ ba là lý do thực dụng. Sự minh chứng của chiếc bánh chính là khi ăn nó. Xuyến suốt cuốn sách này chúng tôi thảo luận một số trò chơi có sử dụng cách tiếp cận cân bằng. Chúng tôi đề nghị bạn xem xét những đự đoán về kết cục và các giải pháp cho hành vi phát sinh từ cách suy nghĩ này. Chúng tôi tin rằng điều này sẽ giúp các bạn đánh giá chiến lược này tốt hơn bất kỳ tranh luận trừu tượng nào về giá trị của chiến lược này. Cuối cùng, chúng tôi muốn bạn tránh hiểu nhầm về khái niệm cân bằng ở đây. Khi chúng tôi nói rằng kết cục là điểm cân bằng, không có khẳng định đương nhiên nào ở đây rằng kết cục này là tốt nhất đối với tất cả những người chơi trong trò chơi, chưa nói đến cả xã hội nói chung. Việc đưa ra đánh giá như vậy luôn là
89 một câu hỏi riêng và câu trả lời là khác nhau tùy thuộc vào từng hoàn cảnh cụ thể. Trong